La trigonometría
Introducción
La trigonometría se utiliza en muchos ámbitos de la investigación, de la ingeniería y de la técnica.
Las unidades de ángulos
Los argumentos de las funciones trigonométricas de Excel se expresan en radianes (abreviatura rd.). Las demás funciones que se suelen emplear en la práctica son:
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Los grados GMS (grados, minutos, segundos): 43° 54’ 25.03", corresponde a la notación clásica de los cartógrafos.
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Los grados decimales: 48,67489 más simples de introducir en un GPS.
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Los grados, utilizados por los geómetras topográfos.
La medida de la circunferencia de un círculo corresponde a 2π radianes, es decir 360° o 400 grados. El número π se obtiene con Excel mediante la función PI().
Las dos imágenes siguientes resumen las principales funciones de conversión de una unidad a otra.
![images/ost05_1.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/ost05_1.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
![images/ost05_2.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/ost05_2.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
Las conversiones hacia los grados GMS requieren la redacción de funciones personalizadas VBA (véase capítulo Crear sus propias funciones).
Las funciones trigonométricas
La siguiente tabla recopila las funciones trigonométricas y las funciones correspondientes de Excel.
Función trigonométrica |
Función Excel |
Sen(x) |
=SENO(radianes) |
Cos(x) |
=COS(radianes) |
Tan(x) |
=TAN(radianes) |
ArcSen(x) |
=ASENO(valor) |
arcCos(x) |
=ACOS(valor) |
arcTan(x) |
=ATAN(valor) |
Las dos siguientes imágenes presentan los resultados de cálculos trigonométricos clásicos y las fórmulas empleadas.
![images/ost05_3.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/ost05_3.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
![images/ost05_4.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/ost05_4.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
La resolución de triángulos
La resolución de triángulos es una técnica utilizada en los ámbitos topográficos. El siguiente triángulo se utiliza en los ejemplos siguientes:
Cálculo de los ángulos (α,β,γ) del área S conociendo sus 3 lados (a,b,c)
Se utilizan las siguientes fórmulas:
![images/05SOB05N.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/05SOB05N.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
![images/05SOB06N.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/05SOB06N.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
Los resultados se calculan en grados decimales para los ángulos, en m² para el área S y en metros para el semiperímetro p.
Para el ejemplo, se utilizan las siguientes dimensiones: a=70 m, b=60 m y c=80 m.
![images/ost05_5.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/ost05_5.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
El contenido de la celda B74 permite verificar que la suma de los ángulos del triángulo es igual a 180°.
Cálculo de los ángulos α y β, del área S y del lado c conociendo γ, a y b (un ángulo y los dos lados adyacentes conocidos)
Las fórmulas son las siguientes:
![images/05SOB08N.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/05SOB08N.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
![images/05SOB09N.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/05SOB09N.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
En las fórmulas del ejemplo siguiente, los ángulos se expresan en grados decimales.
![images/ost05_6.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/ost05_6.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
El valor del ángulo γ, expresado en grados decimales en la celda B75, se debe transformar mediante la función RADIANES para que sirva de argumento en las funciones trigonométricas SENO, COS y TAN.
La cotangente se calcula como la inversa de la tangente.
Cálculo de los lados a y b, del ángulo γ, del área S conociendo α, β y el lado c (dos ángulos y el lado común...
Aplicación en topografía
Cálculo de la altura de un punto inaccesible
Queremos calcular el desnivel H de un punto inaccesible a partir de las medidas de los ángulos α y β realizadas en una superficie supuestamente plana. El esquema es el siguiente:
![images/05SOB17N.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/05SOB17N.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
y con Excel:
![images/ost05_10.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/ost05_10.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
Agrimensura (cálculo de la superficie de un terreno)
El terreno se parece a un polígono cualquiera. El agrimensor procede mediante el desglose de la superficie en triángulos.
En el esquema siguiente, el agrimensor instala su teodolito en el punto T1 (a continuación, volverá a realizar la maniobra en el punto T2). Colocará piquetes en los distintos vértices del polígono (A, B, C, D, E, F, G). A continuación, medirá con la cadena de agrimensor las distancias (a, b, g, f, h) y (c, d, e, j). La medida j no es indispensable. Desde el punto T1 mide los ángulos BT1A, AT1G, etc.
El cálculo de la superficie de cada triángulo se obtiene mediante la fórmula:
![images/05SOB19N.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/05SOB19N.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
![images/05SOB20N.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/05SOB20N.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
El ejemplo siguiente presenta el cálculo de la superficie y del perímetro del terreno esquematizado por el polígono.
Los resultados...
Astronomía: determinación de la posición de una estrella
El problema de la determinación de la posición de una estrella en la esfera celeste a partir de la posición del observador, depende de la rotación de la Tierra. La posición de la estrella es fija (por lo menos con respecto a la vida de un humano), mientras que la del observador es variable.
El punto de observación se constituye como sigue (véase el esquema siguiente):
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El observador se encuentra en el punto O, en la superficie de la Tierra. El punto E corresponde al meridiano del lugar de observación (la dirección Norte-Sur).
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La estrella observada se encuentra en M de la esfera celeste.
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El ecuador celeste es la intersección del plano tangente a la Tierra en O con la esfera celeste.
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El punto γ es el punto vernal, origen de las longitudes celestes.
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El ángulo H es el ángulo horario de la estrella.
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El ángulo T (variable) es el ángulo horario del punto γ. También se le llama "tiempo sideral local" pero es un ángulo.
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El ángulo α (fijo) es la ascensión recta de la estrella.
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El ángulo δ (fijo) es la declinación de la estrella.
En resumen, la posición absoluta de una estrella se caracteriza por su ascensión recta α y su declinación δ.
![images/ost05_14.png](https://www.eni-training.com/download/37fc35d6-32a1-4fa8-a42b-ae9c6ae21b87/images/ost05_14.png?id=AAEAAAD%2f%2f%2f%2f%2fAQAAAAAAAAAMAgAAAE1FbmkuRWRpdGlvbnMuTWVkaWFwbHVzLCBWZXJzaW9uPTEuMC4wLjAsIEN1bHR1cmU9bmV1dHJhbCwgUHVibGljS2V5VG9rZW49bnVsbAUBAAAAJ0VuaS5FZGl0aW9ucy5NZWRpYXBsdXMuQ29tbW9uLldhdGVybWFyawIAAAAHcGlzVGV4dAlwaWR0ZURhdGUBAA0CAAAABgMAAAAwdGVzdCB2Ml84IC0gZmZhNjQzOWQtZDZjYi00NzYxLWJhYTMtZWZkZDNiZDcwMWM25rSq0F7p2IgL)
Ejemplo:
Sirio, la estrella más brillante (con excepción...