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Aplicación de las matrices en las rotaciones

El cálculo matricial tiene muchas aplicaciones, como en el cálculo de estructuras, en el de la ingeniería o incluso en los videojuegos para manipular las figuras geométricas y, concretamente, realizar las rotaciones.

Las rotaciones planas (2D)

Si consideramos el sistema ortonormal siguiente:

images/07OS16.png

La rotación plana de origen O y el ángulo θ permite calcular la posición de un punto M’ (x’,y’) con respecto a un punto de origen M (x,y) por la matriz de rotación siguiente:

images/07SOB35N.png

O dicho de otra forma, las coordenadas (x’,y’) del punto M’ cumplen la relación matricial:

images/07SOB36N.png

La matriz de rotación también puede aplicarse a un polígono definido por las coordenadas de sus vértices: (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn).

Por lo tanto, tendremos:

images/07SOB37N.png

En el ejemplo siguiente, se aplica una rotación de 90°(π/2) a un rectángulo cuyos vértices tienen como coordenadas (1,1), (5,1), (5,2), (1,2).

images/ost07_6.png

La siguiente figura permite visualizar la operación de rotación realizada.

images/diapo20.PNG

Las rotaciones en el espacio

En el caso de las rotaciones, según las tres dimensiones, utilizamos los ángulos de Euler. Esos tres ángulos definen la rotación resultante de las tres rotaciones elementales:

images/diapo21.PNG

En la figura anterior, pasamos del sistema de coordenadas de referencia OXYZ al sistema OxR yR zR mediante las rotaciones siguientes:

  • La precesión ψ realiza una rotación ...