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Aplicación en el álgebra lineal

Resolución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas

La forma general de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas es:

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En forma matricial, el sistema se escribe: A.X = B, es decir:

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Por lo tanto, la solución se obtiene mediante la fórmula X = A-1.B, siempre y cuando la matriz A sea invertible.

Ejemplo 1:

Queremos resolver el siguiente sistema lineal de tres ecuaciones de tres incógnitas:

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La solución del sistema viene dada mediante la escritura matricial:

images/07SOB23NM.PNG

Dado que el determinante es distinto de 0, la matriz es invertible.

La transcripción en Excel es la siguiente:

images/ost7_1.png

Diagonalización de una matriz

La diagonalización de una matriz, cuando esto es posible, permite simplificar mucho los cálculos. Una matriz M se diagonaliza si se puede escribir así: M = P-1.D.P. D es la matriz diagonal y P la matriz de paso. La matriz diagonal está compuesta por los valores propios de la matriz y la matriz P por la yuxtaposición de los vectores propios de esta misma matriz.

Los valores propios son las raíces del polinomio obtenido mediante el cálculo del determinante de la matriz [λ.I - M].

Ejemplo:

Tomando la matriz:

images/07SOB25N.png

Averigüemos los valores de x tales que:

images/07eq10a.png

Los valores propios, raíces de este polinomio, son 1, -1 y 2.

Los vectores propios V demuestran la relación: [λ.I - Ma].V = 0.

Si x1, x2 y x3 son las coordenadas de V, para el valor propio λ=1, se demuestra la relación siguiente: ...